Течение вязкой несжимаемой жидкости по трубе кругового сечения в присутствии поперечного малого градиента давления

Гидродинамика – это чрезвычайно широкий и очень развитый раздел современной теоретической физики, в рамках которого решаются многие задачи, в частности: задачи из физики плазмы, нелинейной оптики, расчёты больших амплитуд волн на поверхности воды и так далее. Особый практический интерес исследователей, занимающихся гидродинамическими расчётами, вызывают задачи, связанные с вязкими несжимаемыми жидкостями. В прикладных задачах гидродинамики, основным уравнением движения является уравнение Навье–Стокса, так как оно позволяет работать с проекциями скоростей, а значит в различных системах отсчёта (в цилиндрической, сферической системах координат). Отличие между идеальной и вязкой жидкостями заключается в том, что когда рассматривается течение вязкой жидкости, то при условном её разделении на «слои», каждый такой «слой» движется с характерной скоростью. При условном разделении вязкой жидкости на подобные «слои», скорости течения «слоёв» будут разными.
Несложно представить трубку, по которой протекает вязкая жидкость. При протекании вязкой жидкости по трубе, главной её особенностью является то, что при омывании стенок трубы вязкой жидкостью происходит «налипание» молекул жидкости на стенки трубы, по которой она протекает. Это обусловлено отсутствием нормальной к твёрдой поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих относительной скорости, то есть отсутствие скорости скольжения жидкости по поверхности.
Мы здесь говорим о модели трубы, которая имеет конечную длину. По трубе протекает вязкая жидкость, движение жидкости стационарное.
Идея поставленной задачи, заключается в следующем: поперечный градиент давления может привести к разным продольным скоростям течения вязкой несжимаемой жидкости в различных точках сечения течения вдоль трубы.
Цель работы: выяснить как эта неоднородность распределения продольных скоростей распространяется вдоль трубы – усиливается (возрастает) или уменьшается (убывает) вдоль течения трубы, по какому закону и на какие расстояния.
Для решения задачи были выбраны следующие приближения:

1. Рассмотрено стационарное движение вязкой жидкости по трубе конечной длины в присутствии радиального градиента давления, являющегося слабым возмущением стационарного пуазейлевского течения жидкости. Для решения задачи использованы уравнения Навье-Стокса для аксиальной и радиальной компонент скорости жидкости. Решения уравнений Навье-Стокса представлены в виде суммы скоростей невозмущённого (пуазейлевского) и возмущённого аксиального движения, а также скорости возмущённого радиального движения.
   
2. Скорости возмущённых движений представлены в виде произведений функций аксиальной и радиальной координат. Поскольку зависимость аксиальной компоненты скорости возмущённого движения жидкости должна удовлетворять достаточно жёстким условиям: равенству нулю на внутренней поверхности трубы и уравнению непрерывности, соответствующая функция от радиальной координаты была выбрана заранее. Такая же процедура была выполнена и для скорости возмущённого радиального движения. Перед подстановкой в уравнения Навье-Стокса вкладов, зависящих от компонент скоростей, было произведено их усреднение по сечению трубы.
   
3. В результате уравнения Навье-Стокса стали дифференциальными уравнениями для функций от аксиальной координаты. Решения этих уравнений представляют собой экспоненциальные зависимости от аксиальной координаты, свидетельствующие об уменьшении возмущений по мере их удаления от сечения трубы, к которому приложены возмущающие силы.
   

Основная методологическая база включает в себя, в основном, методы нелинейной математической физики. В силу того, что работа теоретическая, она содержит, соответственно аналитические расчёты, а также некоторые ключевые результаты, полученные в программной среде Maple и MatLab, и непосредственно при решении уравнений которыми здесь пользовались.