Численное исследование реконнекций квантовых вихрей в сверхтекучем гелии

Процессы перезамыкания (реконнекций) вихревых элементов, оказывающие наибольшее влияние на эволюцию вихревого клубка, наблюдается и в других областях, имеющих дело с линейными протяженными объектами, такими как космические струны, линейные дефекты в твердых телах и т.д. Изучению этого процесса посвящено довольно много работ.

Проблема реконнектирования может быть разделена на две части, а именно на быстрое сближение вихревых элементов нити и коллапс. Линейные движения вихревых элементов нити в процессе их эволюции, когда они приближаются друг к другу до точки, где их взаимное влияние на скорость их движения становится больше чем самоиндуцированная скорость из-за локальной кривизны, но в тоже время они недостаточно близки, чтобы влиять на течение внутри вихревых ядер, описываются уравнением Био-Савара. При этом первоначально произвольно ориентированные вихри при подходе друг к другу на некоторое критическое расстояние начинают с переориентации своих близких сегментов, чтобы приблизить их в антипараллельное положение. Далее они начинают вытягиваться и приближаться друг к другу. Кривизна этих каспов может быть настолько велика, что самоиндуцированная скорость каждого возмущения преодолевает отталкивание от соседней вихревой линии. Далее бугорки растут, сближаются все ближе, увеличивая кривизну и, соответственно, их собственные скорости, и этот процесс повторяется все быстрее и быстрее. В результате асимптотические линии образуют пирамиду, а вихри образуют две гиперболические кривые. Важно, что этот процесс нарастает взрывообразно, так как расстояние между двумя возмущенными сегментами Δ уменьшается. Таким образом, через конечное время вихревые линии разрушаются. Время схлопывания много меньше характерного времени движения других элементов вихревой линии. При этом пересоединение сопровождается потерей кинетической энергии (связанной с вихрями) и, соответственно, длины линии.

Когда вихревой клубок становится достаточно плотным и количество реконнектирующих элементов становится много, то никакого машинного времени не хватит рассчитывать так детально происходящие эти процессы. Сведения о кратковременности процесса пересоединения являются в данном случае очень полезеными, поскольку это оправдывает предположение, впервые предложенное Шварцем, что событие переподключения является мгновенным. Это обстоятельство позволяет отказаться от детального рассмотрения процесса переподключения и заменить его специальной процедурой, так называемым «анзацем переподключения» (“reconnection ansatz”). Поэтому в численных работах, начиная с работы Шварца, используются различные критерии для осуществления процедуры реконнектирования. Эти критерии основываются на физической интуиции и результатах численного моделирования. Суть критерия Шварца заключается в том, что когда локальный и нелокальный вклады в скорость вихревой точки одинаковы, то необходимо осуществлять процессы перезамыкания вихревых элементов. Количественный критерий: $R/\ln(R/r_0)$. Здесь $R$ – радиус кривизны в рассматриваемой точке, $r_0$ – радиус ядра вихря. Таким образом, вихревые линии всякий раз, когда они находятся на расстоянии $\Delta ≤ R/\ln(R/r_0)$, подвержены быстрому сближению и коллапсу. Очевидно, что когда радиус кривизны большой, то согласно этому критерию, должны реконнектировать удаленные на большое расстояние друг от друга вихревые сегменты. В этом заключается существенный недостаток критерия Шварца. Далее эти критерии усовершенствовались расчетчиками. Нами также был предложен критерий. Суть этого его заключается в следующем: если сегменты нити при своем движении пересекались в течение временного шага, то процессы реконнекции осуществлялись (динамический критерий). Следующий критерий основан на пространственном расположении вихревых точек сегментов нитей. Суть его состоит в том, что если вихревые точки сегментов нитей подходили ближе пространственного шага вдоль нити, то процессы реконнекций осуществлялись (геометрический критерий). И третий критерий, как и геометрический, основан на пространственном расположении точек вихревых сегментов нитей только с наложением дополнительных условий, а именно, после реконнекций длина вихревых нитей должна только уменьшаться, сегменты нитей угол между которыми меньше 10 градусов не реконнектируют (геометрически-энергетический критерий).

В данном докладе подробно будет представлены различные “reconnection ansatzs”, используемые вычислителями при исследовании динамики вихревого клубка и влияние их на свойства вихревого клубка.